A Matemática permite transformar uma esfera em duas. Mas de onde vem o volume extra?

Um teorema demonstrado há mais de cem anos afirma que uma esfera pode ser dividida em um número finito de conjuntos de pontos e reorganizada para formar duas esferas idênticas à original. O resultado não viola a Física, mas revela algo perturbador sobre o infinito e os limites do que podemos medir.

Imagine que você tenha uma esfera perfeita de ouro.

Ela possui dez centímetros de raio. Você a coloca sobre uma mesa e anuncia que conseguirá transformá-la em duas esferas, ambas com exatamente o mesmo tamanho da original.

Não vai acrescentar ouro. Não vai esticar o material. Não vai comprimir nenhuma parte. Vai apenas dividir a esfera em alguns conjuntos e reorganizá-los.

O resultado?

Duas esferas idênticas à primeira.

Naturalmente, qualquer pessoa responderia que isso é impossível. Se a esfera original possui determinado volume, as duas esferas resultantes deveriam possuir, juntas, o dobro desse volume. Ninguém consegue criar matéria simplesmente reorganizando pedaços.

Entretanto, em 1924, Stefan Banach e Alfred Tarski demonstraram um resultado que parece contradizer exatamente esse raciocínio.

O chamado paradoxo de Banach–Tarski estabelece que, no espaço euclidiano tridimensional, uma bola pode ser particionada em um número finito de conjuntos e reorganizada, usando movimentos rígidos, para formar duas cópias da bola original.

E não estamos falando de uma hipótese ainda não demonstrada. Estamos falando de um teorema matemático rigoroso.

Então, onde está o truque?

O infinito já permite coisas bastante estranhas

Antes de investigar a esfera, considere um problema mais simples. Imagine o conjunto dos números naturais:

Agora considere apenas os naturais pares:

O segundo conjunto parece conter metade dos elementos do primeiro. Mas existe uma correspondência perfeita entre eles:

Cada natural corresponde a exatamente um número par e vice-versa. Consequentemente:

Esse é um dos primeiros encontros com uma característica contraintuitiva do infinito: um conjunto infinito pode possuir a mesma quantidade de elementos que uma de suas partes próprias.

Já exploramos uma consequência diferente dessa estranheza em Um único número pode conter uma biblioteca infinita?.

Por que isso parece destruir a ideia de volume?

Considere uma esfera sólida de raio r. Seu volume é:

Se o raio for de dez centímetros:

Duas esferas idênticas possuiriam juntas aproximadamente 8377,58 cm³. Como obter isso sem acrescentar material?

Para qualquer objeto físico comum, não seria possível. Se dividirmos uma esfera em pedaços convencionais, mensuráveis e disjuntos, seus volumes deverão somar o volume original:

Além disso, rotações e translações preservam volume. Portanto, reorganizar essas partes não poderia duplicar o volume total.

Mas existe uma hipótese escondida nesse raciocínio: estamos supondo que todas as partes possuem volumes matematicamente definidos.

Existem conjuntos de pontos que não possuem volume definido

Quando pensamos em um pedaço de uma esfera, imaginamos algo semelhante a uma fatia de laranja: talvez irregular, mas ainda uma região à qual poderíamos atribuir um volume.

Os conjuntos utilizados em Banach–Tarski são radicalmente diferentes. São coleções extremamente complexas de pontos às quais não se pode atribuir uma medida de Lebesgue compatível com as propriedades usuais de volume.

Esses conjuntos são chamados de não mensuráveis.

Isso não significa que possuem volume zero. Também não significa que possuem volume infinito. Significa que, dentro da teoria de medida usual, o volume simplesmente não está definido para eles.

E essa diferença é decisiva.

Não podemos aplicar a regra de soma de volumes a partes para as quais esses volumes não existem como números definidos.

Portanto, o teorema não demonstra que:

Ele demonstra que existem decomposições para as quais a noção convencional de volume não pode ser aplicada peça por peça.

Esse ponto aparece de forma particularmente clara na discussão sobre teoria dos conjuntos e o axioma da escolha da Stanford Encyclopedia of Philosophy.

O axioma que permite escolher o impossível

Como os matemáticos conseguem construir conjuntos tão estranhos? Aqui aparece uma ideia fundamental da teoria dos conjuntos: o axioma da escolha.

Imagine uma coleção de caixas, cada uma contendo pelo menos um objeto. Para dez caixas, podemos escolher um objeto de cada uma. Para mil, o processo seria trabalhoso, mas ainda compreensível.

Agora imagine uma coleção infinita de conjuntos, sem nenhuma regra geral que permita identificar um elemento específico em cada um.

O axioma da escolha afirma, essencialmente, que existe uma função capaz de selecionar um elemento de cada conjunto não vazio, mesmo quando não dispomos de um procedimento explícito para realizar todas essas escolhas.

Isso é muito diferente de fornecer um algoritmo.

O axioma garante existência; não necessariamente oferece construção.

No paradoxo de Banach–Tarski, escolhas desse tipo permitem construir conjuntos extremamente irregulares relacionados às órbitas produzidas por rotações no espaço tridimensional.

Não basta, portanto, haver infinitos pontos. É necessária uma estrutura matemática específica capaz de produzir uma decomposição paradoxal.

Essa distinção também ajuda a entender por que a dimensão do espaço importa. A geometria tridimensional admite estruturas de rotações que não aparecem da mesma maneira no plano. É uma conexão interessante com o artigo Você enxergaria uma quarta dimensão se ela estivesse diante de você?.

Cinco conjuntos que ninguém consegue recortar

É importante esclarecer o significado da palavra dividir.

O teorema não fornece instruções para pegar uma faca e cortar uma esfera em cinco pedaços materiais. Os conjuntos envolvidos são abstrações formadas por pontos. Não possuem necessariamente fronteiras convencionais nem correspondem a regiões sólidas que poderíamos segurar.

Além disso, uma esfera física é formada por matéria. Átomos não são pontos geométricos infinitamente divisíveis, e processos reais de corte obedecem a restrições que não existem na formulação abstrata do teorema.

Por isso, Banach–Tarski não permite duplicar ouro, fabricar matéria ou violar a conservação da massa.

A interpretação física equivocada surge quando tratamos objetos matemáticos abstratos como se fossem automaticamente equivalentes a objetos materiais.

Essa diferença entre sistema formal e interpretação também apareceu no artigo Uma contradição pode provar qualquer coisa?.

Um teorema de 1924 verificado por computador em 2026

Mais de um século depois da demonstração original, o resultado continua sendo estudado.

Em 7 de maio de 2026, Arthur Freitas Ramos, David Barros Hulak e Ruy Jose Guerra Barretto de Queiroz publicaram no Archive of Formal Proofs uma formalização do paradoxo em Isabelle/HOL.

O trabalho formaliza etapas como a decomposição paradoxal de grupos livres, um subgrupo livre de rotações em três dimensões, o paradoxo de Hausdorff e a extensão final para a bola tridimensional. A própria documentação registra que o argumento depende crucialmente do axioma da escolha.

Isso não representa uma nova descoberta do teorema. Representa algo diferente: uma demonstração clássica transformada em uma cadeia de inferências que um sistema formal pode verificar passo a passo.

Há algo particularmente interessante nisso. Uma ideia matemática que parece desafiar a realidade pode ser submetida a uma verificação lógica extremamente rigorosa — e continuar válida.

O que significa uma coisa existir matematicamente?

Talvez essa seja a questão mais importante de toda a discussão.

Na Matemática, demonstrar que determinado objeto existe não significa necessariamente apresentar um exemplar físico desse objeto. Também não significa que conseguimos calculá-lo, visualizá-lo ou construí-lo por meio de um procedimento finito.

Essa distinção aparece em diferentes áreas. Em Quase todos os números existem — mas nunca conseguiremos calculá-los, vimos que a imensa maioria dos números reais não pode ser produzida por algoritmos.

Banach–Tarski revela outro aspecto do mesmo problema filosófico. Existem conjuntos cuja existência pode ser demonstrada, mas que não se comportam como os objetos geométricos que nossa experiência cotidiana nos ensinou a reconhecer.

A Matemática não é apenas uma linguagem para descrever coisas que conseguimos imaginar. Ela também investiga as consequências de estruturas que ultrapassam nossa intuição.

Uma leitura para aprofundar

Uma boa leitura complementar é Em busca do infinito: uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos, de Ian Stewart. A edição digital em português, publicada pela Zahar, está disponível para compra na Kobo Brasil. O livro ajuda a colocar teoria dos conjuntos, infinito, geometria e outras ideias abstratas dentro da evolução histórica da Matemática.

A pergunta que permanece

Uma esfera física não pode ser transformada em duas esferas idênticas sem acrescentar matéria.

Mas uma bola matemática, entendida como conjunto de pontos do espaço euclidiano, admite uma decomposição extraordinária.

O paradoxo de Banach–Tarski não mostra que a Matemática está errada. Mostra que nossa intuição sobre volume, forma e divisão não pode ser aplicada indiscriminadamente a todos os conjuntos matemáticos.

O mais surpreendente talvez seja perceber que não precisamos abandonar o rigor para chegar a resultados aparentemente absurdos.

Às vezes, é justamente o rigor que nos conduz até eles.

Se conseguimos demonstrar matematicamente a existência de objetos que jamais poderemos construir ou observar, estamos descobrindo propriedades de uma realidade que existe independentemente de nós — ou apenas explorando as consequências das regras que escolhemos aceitar?