Exercício resolvido: vetores de comprimento 2, ortogonais a e₃

Problema. Determine todos os vetores v de comprimento 2, ortogonais a e₃, tais que

v \cdot (e_{1} + e_{2}) = 1

Vamos escrever o vetor na forma

v = (x, y, z)

1. Usando a condição de ortogonalidade

O vetor e₃ da base canônica é (0,0,1). Como v é ortogonal a e₃, o produto escalar entre eles deve ser zero:

v \cdot e_{3} = (x, y, z) \cdot (0, 0, 1) = z = 0

Portanto, o vetor procurado está no plano xy:

v = (x, y, 0)

Como e₁ + e₂ = (1,1,0), temos

(x, y, 0) \cdot (1, 1, 0) = 1

Logo,

x + y = 1

O comprimento de v é 2. Assim,

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = 2

Elevando os dois lados ao quadrado,

x^{2} + y^{2} = 4

Temos então as duas condições:

x + y = 1 e x^{2} + y^{2} = 4

Elevando a primeira equação ao quadrado:

{(x + y)}^{2} = 1 \Rightarrow x^{2} + 2 x y + y^{2} = 1

Como x² + y² = 4, obtemos

4 + 2 x y = 1 \Rightarrow x y = \frac{- 3}{2}

Assim, x e y são as raízes da equação

t^{2} - t - \frac{3}{2} = 0

Pela fórmula quadrática,

t = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}

Portanto, existem exatamente dois vetores que satisfazem simultaneamente as três condições:

v_{1} = (\frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}, 0)

v_{2} = (\frac{1 - \sqrt{7}}{2}, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, 0)

Geometricamente, as condições determinam dois pontos do círculo de raio 2 no plano xy que também pertencem à reta x + y = 1.