Exercício resolvido: esboço do gráfico de y = 4/x + x + 1

Resolução da Questão 4 de Cálculo Diferencial e Integral: domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais e esboço do gráfico.

Enunciado

Questão 4 — Esboço de gráfico de funções. Esboce o gráfico da função:

para −∞ < x < ∞, apresentando corretamente: domínio (2 pontos); interseções com os eixos x e y (3 pontos); assíntotas verticais (5 pontos); intervalos de crescimento e decrescimento (5 pontos); máximos e mínimos locais (5 pontos); e esboço do gráfico (5 pontos).

1. Domínio

A única restrição é o denominador x, que não pode ser zero. Portanto:

2. Interseções com os eixos

Eixo y: seria necessário substituir x = 0, mas a função não está definida nesse ponto. Portanto, não existe interseção com o eixo y.

Eixo x: fazemos y = 0 e multiplicamos por x (lembrando que x ≠ 0):

O discriminante da equação é:

Como Δ é negativo, a equação não possui raízes reais. Conclusão: o gráfico não intercepta nenhum dos dois eixos.

3. Assíntotas

A função é indefinida em x = 0. Analisando o termo 4/x próximo desse ponto, temos:

Logo, x = 0 é uma assíntota vertical.

Há também uma assíntota oblíqua, útil para desenhar os ramos. Como a diferença entre f(x) e (x + 1) é 4/x, que tende a zero quando x tende a ±∞, a reta é:

4. Crescimento e decrescimento

Calculamos a derivada:

Os pontos críticos do domínio satisfazem f′(x) = 0; portanto, x = −2 ou x = 2. Como x² > 0 sempre que x ≠ 0, o sinal da derivada é determinado por (x − 2)(x + 2).

Intervalo	Sinal de f′(x)	Comportamento
(−∞, −2)	Positivo	Crescente
(−2, 0)	Negativo	Decrescente
(0, 2)	Negativo	Decrescente
(2, +∞)	Positivo	Crescente

Separar os intervalos em x = 0 é indispensável, pois a função não está definida nesse ponto.

5. Máximos e mínimos locais

Em x = −2, a derivada muda de positiva para negativa; portanto, existe um máximo local:

Em x = 2, a derivada muda de negativa para positiva; portanto, existe um mínimo local:

Assim, os extremos são máximo local em (−2, −3) e mínimo local em (2, 5). Não existem máximo ou mínimo absolutos para a função em todo o domínio.

6. Esboço do gráfico

Com essas informações, traçamos os dois ramos separados pela assíntota vertical x = 0. O ramo esquerdo passa pelo máximo (−2, −3) e fica abaixo do eixo x; o ramo direito passa pelo mínimo (2, 5) e fica acima do eixo x. Ambos se aproximam da reta y = x + 1 quando |x| cresce.

Resposta resumida

Domínio: ℝ \ {0}. Interseções: nenhuma. Assíntota vertical: x = 0. Assíntota oblíqua: y = x + 1. Crescente: (−∞, −2) e (2, +∞). Decrescente: (−2, 0) e (0, 2). Máximo local: (−2, −3). Mínimo local: (2, 5).

Fonte do enunciado: Cálculo Diferencial e Integral — Prova 02, Questão 4, Prof. Guilherme Augusto Pianezzer, UTFPR — Campus Curitiba. Gráfico e resolução elaborados para o artigo.