Uma informação pode ser conhecida por todos e, ainda assim, não ser conhecimento comum. Um enigma aparentemente infantil revela por que o silêncio pode transmitir informação e como a Matemática descreve aquilo que sabemos sobre o conhecimento dos outros.
Imagine três crianças brincando em um jardim.
Depois de algum tempo, elas retornam para casa com os rostos sujos de lama. As três possuem uma mancha na testa.
Existe, porém, uma particularidade: cada criança consegue enxergar a testa das outras duas, mas não consegue enxergar a própria. Não há espelhos e ninguém pode tocar a testa para descobrir sua condição.
O pai reúne as crianças e anuncia:
“Pelo menos uma de vocês está com a testa suja.”
Em seguida, pergunta:
“Quem sabe, com certeza, que está com a própria testa suja?”
Ninguém responde.
O pai repete a pergunta. Novamente, ninguém responde.
Na terceira vez, acontece algo extraordinário: as três crianças respondem simultaneamente:
“Eu estou!”
Como conseguiram descobrir?
Ninguém revelou qual criança estava suja. Nenhuma delas recebeu uma informação individual sobre a própria testa. E, aparentemente, o pai apenas repetiu uma pergunta.
Mas existe uma estrutura lógica escondida nessa situação. Ela revela uma diferença fundamental entre conhecer um fato e conhecer aquilo que outras pessoas sabem.
O primeiro nível: aquilo que cada pessoa consegue observar
Vamos chamar as crianças de Ana, Bruno e Carla.
Sabemos que as três estão com a testa suja. Ana enxerga as manchas de Bruno e Carla; Bruno enxerga as manchas de Ana e Carla; Carla enxerga as manchas de Ana e Bruno.
Portanto, cada criança sabe que existem pelo menos duas pessoas sujas.
Mas nenhuma sabe se sua própria testa também está suja.
Para Ana, por exemplo, existem duas possibilidades compatíveis com aquilo que observa: Bruno e Carla estão sujos e ela está limpa; ou os três estão sujos.
A observação direta não permite distinguir essas possibilidades.
A Matemática também estuda o conhecimento
Existe uma área chamada lógica epistêmica. Ela investiga formalmente o conhecimento e as relações entre aquilo que diferentes agentes sabem.
Uma notação comum utiliza operadores como:
A expressão significa: Ana sabe que a proposição p é verdadeira.
Mas podemos construir afirmações sobre o conhecimento dos outros:
Agora estamos dizendo: Ana sabe que Bruno sabe que p.
Podemos continuar:
A proposição original continua a mesma. O que cresce é a estrutura do conhecimento.
A lógica epistêmica utiliza modelos de mundos possíveis para representar essas relações. O clássico problema das crianças sujas é discutido explicitamente na Stanford Encyclopedia of Philosophy como exemplo de lógica epistêmica dinâmica e anúncios públicos.
O que acontece se existir apenas uma criança suja?
Comecemos pelo caso mais simples.
Imagine que somente Ana esteja suja, enquanto Bruno e Carla estejam limpos.
Quando o pai anuncia que pelo menos uma criança está suja, Ana observa as outras duas e percebe que ambas estão limpas.
Ela conclui imediatamente:
“Se existe pelo menos uma criança suja e as outras duas estão limpas, então essa criança só posso ser eu.”
Ela responderia já na primeira pergunta.
Portanto, se ninguém responde na primeira rodada, todos podem concluir que não existe exatamente uma criança suja.
E se existirem exatamente duas crianças sujas?
Agora imagine que Ana e Bruno estejam sujos, mas Carla esteja limpa.
Ana enxerga Bruno sujo e Carla limpa. Ela considera duas possibilidades: somente Bruno está sujo ou ambos estão sujos.
Bruno faz o raciocínio equivalente.
Quando o pai pergunta pela primeira vez, ninguém responde.
Ana então pensa:
“Se apenas Bruno estivesse sujo, ele enxergaria duas crianças limpas e descobriria imediatamente que está sujo.”
Mas Bruno não respondeu.
Logo, Ana conclui que Bruno também está vendo alguém sujo. Como Carla está limpa, essa outra pessoa só pode ser Ana.
Bruno chega à mesma conclusão.
Assim, se existissem exatamente duas crianças sujas, elas descobririam sua condição na segunda rodada.
A terceira pergunta resolve o enigma
Retornemos à situação original: as três crianças estão sujas.
Ana enxerga Bruno e Carla sujos. Ainda não sabe se também está suja.
Mas, quando o pai faz a segunda pergunta e ninguém responde, Ana consegue realizar um novo raciocínio:
“Se eu estivesse limpa, existiriam apenas duas crianças sujas: Bruno e Carla. Nesse caso, os dois teriam descoberto sua condição na segunda pergunta. Como nenhum respondeu, minha hipótese estava errada. Eu também estou suja.”
Bruno e Carla fazem exatamente o mesmo raciocínio.
Na terceira pergunta, os três respondem simultaneamente.
O silêncio pode transmitir informação?
Na teoria da informação, costumamos imaginar que aprender algo exige receber uma mensagem. O enigma mostra algo diferente.
A ausência de resposta também pode modificar o conjunto de possibilidades consideradas.
Depois da primeira rodada de silêncio, os estados com exatamente uma criança suja são eliminados. Depois da segunda, são eliminados os estados com exatamente duas.
O silêncio não é informativo por si só. Ele se torna informativo porque existe uma regra conhecida por todos: cada criança responderá quando tiver certeza.
Sem essa regra, o silêncio poderia significar dúvida, distração ou simples desinteresse.
Essa diferença entre mensagem, informação e interpretação dialoga diretamente com Uma mentira pode carregar mais informação que a verdade?.
O resultado geral é uma demonstração por indução
Podemos generalizar o problema.
Suponha que existam n crianças sujas, todas capazes de observar as demais. Sob as hipóteses do enigma, elas descobrirão sua condição exatamente na n-ésima rodada.
Em que R(n) representa a rodada em que as crianças sujas conseguem identificar sua condição.
A demonstração segue a estrutura da indução matemática.
O caso inicial já foi verificado: com uma única criança suja, a descoberta ocorre na primeira rodada.
Agora suponha que a afirmação seja verdadeira para n crianças. Se existirem n+1 crianças sujas, cada uma observará exatamente n crianças sujas e considerará a possibilidade de estar limpa.
Nesse cenário hipotético haveria apenas n crianças sujas e, pela hipótese de indução, elas responderiam na rodada n.
Como ninguém responde nessa rodada, cada criança conclui que também está suja. Todas respondem na rodada n+1.
A verdadeira surpresa: o pai não contou nada novo
Agora chegamos à parte mais profunda do problema.
Quando o pai anuncia que pelo menos uma criança está suja, na situação original cada criança já consegue observar outras duas crianças sujas.
Então por que o anúncio é necessário?
Porque existe uma diferença entre todos saberem alguma coisa e essa coisa ser conhecimento comum.
Se p é uma afirmação, podemos representar “todos sabem que p” por:
Mas isso não implica automaticamente que todos saibam que todos sabem:
O conhecimento comum exige todos esses níveis sucessivos:
O anúncio público cria exatamente esse tipo de base compartilhada: todos ouviram a informação e sabem que os demais também ouviram. Na lógica epistêmica dinâmica, anúncios públicos são estudados justamente por sua capacidade de atualizar o estado de conhecimento de um grupo.
A distinção entre conhecimento individual e conhecimento comum também aparece em problemas de coordenação e teoria dos jogos. Ela complementa a discussão de Quando todo mundo escolhe o melhor para si — e todos acabam pior.
Por que isso importa fora de um enigma?
Imagine uma organização em que todos os gestores conhecem determinado problema operacional.
Cada um sabe que existe uma falha, mas ninguém tem certeza de que os demais reconhecem a mesma situação.
Uma reunião pública pode modificar esse cenário mesmo sem apresentar fatos inéditos. Todos passam a saber que os demais receberam a informação.
Em determinadas situações, isso altera as decisões possíveis.
O mesmo princípio aparece em negociações, problemas econômicos de coordenação e sistemas distribuídos. Naturalmente, pessoas reais não são agentes lógicos perfeitos: podem interpretar mensagens de maneiras diferentes, desconfiar delas ou simplesmente não agir.
Mas o modelo revela uma distinção essencial: a informação disponível não determina sozinha o comportamento coletivo. Também importa aquilo que cada pessoa sabe sobre o conhecimento dos outros.
Esse cuidado com as hipóteses de um sistema formal também é central em Uma contradição pode provar qualquer coisa?, em que vimos como diferentes regras lógicas podem mudar profundamente aquilo que podemos concluir.
Uma leitura para aprofundar
Uma boa referência para avançar da intuição dos enigmas para o estudo formal é Introdução à lógica — 2ª edição, de Cezar A. Mortari, publicada pela Editora Unesp. O livro apresenta lógica proposicional, cálculo de predicados, conjuntos, lógicas não clássicas e a relação entre lógica e argumentos.
A pergunta que permanece
Três crianças descobriram uma informação sobre si mesmas sem receber uma descrição direta de sua condição.
Elas apenas observaram outras pessoas e interpretaram corretamente aquilo que ninguém disse.
O resultado não depende de adivinhação. Depende de uma estrutura lógica rigorosa.
E talvez sua consequência mais interessante seja esta: saber alguma coisa nem sempre é suficiente para agir. Às vezes, precisamos saber que os outros sabem. Em outras situações, precisamos saber que os outros sabem que nós sabemos.
A Matemática consegue descrever essa sequência aparentemente interminável.
Quantas decisões que consideramos individuais dependem, na verdade, daquilo que acreditamos que outras pessoas sabem sobre nós?
Guilherme Augusto Pianezzer
Professor de Matemática, autor e criador de conteúdo. Os textos deste site são produzidos com foco em rigor conceitual, clareza didática e conexão entre Matemática, Economia, Ciência e Educação.
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