Questão 5 da Prova 02 de Cálculo Diferencial e Integral. Vamos construir a função lucro de uma indústria, determinar a produção que maximiza o resultado e verificar o que muda quando a capacidade produtiva é reduzida.
Enunciado
Questão 5 — Problemas de Otimização. Uma indústria produz e vende x unidades de um produto por dia. O preço de venda por unidade e o custo diário total de produção são dados, respectivamente, por:
Os valores monetários estão expressos em reais. A capacidade máxima da indústria é de 1.000 unidades por dia. Toda a produção é vendida, e o lucro diário é dado por:
O exercício pede: (a) determinar a função lucro diário (5 pontos); (b) encontrar a quantidade que maximiza o lucro e justificar o máximo absoluto no intervalo considerado (8 pontos); (c) calcular o preço por unidade e o lucro máximo (6 pontos); (d) determinar a nova produção ótima e o lucro máximo se a capacidade passar a 500 unidades/dia (6 pontos).
a) Determinando a função lucro diário
A receita diária é o número de unidades vendidas multiplicado pelo preço unitário:
O lucro é a receita menos o custo. Substituindo as duas expressões:
Ao retirar os parênteses e agrupar os termos semelhantes, obtemos:
Como a produção não pode ser negativa nem superar a capacidade instalada, consideramos 0 ≤ x ≤ 1.000 (com x inteiro, por representar unidades).
b) Quantidade produzida que maximiza o lucro
Derivamos a função lucro em relação à quantidade produzida:
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Para justificar que o resultado é um máximo absoluto, calculamos a segunda derivada:
Como a segunda derivada é negativa em todo o intervalo, a função lucro é estritamente côncava. Assim, o ponto crítico x = 600 é seu único máximo global; além disso, 600 está dentro do intervalo permitido [0, 1.000].
Quantidade ótima: 600 unidades produzidas e vendidas por dia.
c) Preço de venda e lucro diário máximo
Substituindo x = 600 na função preço:
Logo, o preço de venda é de R$ 140,00 por unidade. Agora, na função lucro:
Lucro diário máximo: R$ 49.000,00.
d) Capacidade reduzida para 500 unidades por dia
Com a nova capacidade, a produção deve satisfazer 0 ≤ x ≤ 500. O ponto crítico anterior, x = 600, não é mais viável. Precisamos, portanto, maximizar o lucro no novo intervalo.
A derivada do lucro em x = 500 vale:
Como a derivada permanece positiva em todo o intervalo [0, 500], o lucro aumenta à medida que a produção cresce. Portanto, o máximo absoluto ocorre na capacidade máxima disponível, x = 500.
Assim, a quantidade ótima passa a ser de 500 unidades/dia, com lucro diário máximo de R$ 47.500,00. Em comparação com a capacidade anterior, o lucro máximo diminui em R$ 1.500,00 por dia.
Resumo das respostas
| Item | Resultado |
|---|---|
| (a) Função lucro | Π(x) = −0,15x² + 180x − 5.000 |
| (b) Produção ótima com capacidade de 1.000 | 600 unidades/dia — máximo absoluto |
| (c) Preço unitário e lucro máximo | R$ 140,00 e R$ 49.000,00/dia |
| (d) Capacidade limitada a 500 | 500 unidades/dia; lucro de R$ 47.500,00/dia |
Fonte do enunciado: Cálculo Diferencial e Integral — Prova 02, Questão 5, Prof. Guilherme Augusto Pianezzer, Universidade Tecnológica Federal do Paraná — Campus Curitiba. Resolução elaborada para esta publicação.
Guilherme Augusto Pianezzer
Professor de Matemática, autor e criador de conteúdo. Os textos deste site são produzidos com foco em rigor conceitual, clareza didática e conexão entre Matemática, Economia, Ciência e Educação.
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