Exercício resolvido: taxas relacionadas no problema do foguete

Uma aplicação de derivação implícita: o foguete sobe verticalmente, mas queremos saber a rapidez com que se afasta de um observador em terra. A relação geométrica é dada pelo teorema de Pitágoras.

Enunciado

Questão 3 (25 pontos) — Taxas relacionadas. Um foguete sobe verticalmente, e sua altitude após t segundos é h(t) = 10t², em metros. Um observador permanece no solo, a 1 000 metros do ponto de lançamento. Determine a taxa de variação da distância entre o observador e o foguete no instante t = 10 segundos.

Diagrama da situação

Diagrama — A distância horizontal é constante (1000 m); a altitude h(t) e a distância s(t) mudam com o tempo. O ângulo junto ao ponto de lançamento é reto.

Resolução

Chamamos de s(t) a distância entre o observador e o foguete. Como a trajetória é vertical, formamos um triângulo retângulo, de catetos 1000 m e h(t), e hipotenusa s(t). Pelo teorema de Pitágoras:

{s (t)}^{2} = 1000^{2} + {h (t)}^{2}

Derivando os dois lados em relação ao tempo t e aplicando a regra da cadeia:

2 s (t) \frac{d s}{d t} = 2 h (t) \frac{d h}{d t}

Simplificando e isolando a taxa procurada:

\frac{d s}{d t} = \frac{h (t) \frac{d h}{d t}}{s (t)}

Valores no instante t = 10 s

A altura do foguete nesse instante é:

h (10) = 10 \cdot 10^{2} = 1000 m

Derivando a altura h(t) = 10t², obtemos a velocidade vertical:

\frac{d h}{d t} = 20 t \Rightarrow \frac{d h}{d t} em t = 10 : 200 m/s

A distância até o observador, pelo teorema de Pitágoras, é:

s = \sqrt{1000^{2} + 1000^{2}} = 1000 \sqrt{2} m

Substituímos os três valores na expressão da taxa de variação da distância:

\frac{d s}{d t} = \frac{1000 \cdot 200}{1000 \sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100 \sqrt{2} m/s

Resposta final

\frac{d s}{d t} = 100 \sqrt{2} m/s \approx 141,4 m/s

No instante de 10 segundos, a distância entre o observador e o foguete está aumentando a aproximadamente 141,4 m/s. Essa taxa é menor que a velocidade vertical do foguete (200 m/s), pois a distância observador–foguete varia ao longo de uma direção inclinada.

Fonte do enunciado: Cálculo Diferencial e Integral — Prova 02, questão de taxas relacionadas (numerada como Questão 3 no original), Prof. Guilherme Augusto Pianezzer, Universidade Tecnológica Federal do Paraná — Campus Curitiba.

Autoria e revisão

Guilherme Augusto Pianezzer

Professor de Matemática, autor e criador de conteúdo. Os textos deste site são produzidos com foco em rigor conceitual, clareza didática e conexão entre Matemática, Economia, Ciência e Educação.

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