Norma de 2u + 4v ao quadrado: usando produto escalar

Álgebra Linear · Vetores

Problema. Calcule |2u⃗ + 4v⃗|², sabendo que u⃗ é unitário, |v⃗| = 2 e que o ângulo entre u⃗ e v⃗ é

θ = \frac{2 π}{3} = 120 °

O cuidado principal está no termo misto. Como o ângulo é obtuso, o produto escalar entre u⃗ e v⃗ será negativo.

1. Encontrando o produto escalar u⃗ · v⃗

Pela definição do produto escalar,

u \cdot v = | u | | v | \cos (θ)

Como u⃗ é unitário, |u⃗| = 1. Além disso, |v⃗| = 2 e

\cos (\frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}

Portanto,

u \cdot v = 1 \cdot 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1

Agora usamos a identidade

| a + b |^{2} = | a |^{2} + | b |^{2} + 2 a \cdot b

Aplicando diretamente a a = 2u⃗ e b = 4v⃗, temos

| 2 u + 4 v |^{2} = 4 | u |^{2} + 16 | v |^{2} + 16 (u \cdot v)

Substituindo os valores conhecidos:

| 2 u + 4 v |^{2} = 4 (1) + 16 (4) + 16 (- 1)

Logo,

| 2 u + 4 v |^{2} = 4 + 64 - 16 = 52

Também podemos observar que

| 2 u | = 2 | 4 v | = 8

O ângulo entre esses dois vetores continua sendo 120°. Então, pela lei dos cossenos vetorial,

| 2 u + 4 v |^{2} = 2^{2} + 8^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot \cos (120 °) = 52

|2u⃗ + 4v⃗|² = 52

O erro mais comum aqui é esquecer que o ângulo de 120° produz cosseno negativo. Por isso, o termo cruzado reduz o valor final em 16.

Para revisar produto escalar, norma e ângulo entre vetores, consulte também a página de Álgebra Linear.