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Cálculo · Limites
Vamos resolver hoje o limite abaixo:
Antes de começar a manipular a expressão, vale fazer a pergunta mais simples: o que acontece se substituirmos x = 2?
No numerador, temos tan(2π) = 0. No denominador, temos 2 − 2 = 0. Portanto, a substituição direta produz a forma 0/0.
O limite não pergunta pelo valor no ponto
A expressão original não está definida em x = 2, porque o denominador zera. Mas o limite não quer saber o valor da função exatamente nesse ponto. Queremos descobrir o comportamento da função na vizinhança de x = 2.
Essa distinção é fundamental em Cálculo: uma função pode não estar definida em determinado ponto e, mesmo assim, seus valores podem se aproximar de um número perfeitamente bem definido quando chegamos perto dele.
Visualmente, já aparece uma pista forte: quando x se aproxima de 2 pela esquerda ou pela direita, o gráfico se aproxima de π. Agora vamos justificar isso matematicamente.
A mudança de variável
O argumento da tangente é πx. Como estamos interessados no comportamento perto de x = 2, é conveniente separar o múltiplo completo de 2π. Definimos:
Quando x → 2, temos também u → 0. Além disso, como πx = 2π + u, podemos escrever:
A última igualdade vem da periodicidade da tangente.
Reescrevendo o limite
Agora usamos a substituição para transformar a expressão original:
Chegamos exatamente ao formato que queríamos. O primeiro fator contém um limite fundamental:
E, como u = π(x − 2), temos:
Portanto:
Resposta: π.
O que este exercício ensina?
- 0/0 não é uma resposta: é um aviso de que precisamos transformar a expressão.
- O limite olha para a vizinhança, e não necessariamente para o valor da função no ponto.
- Mudanças de variável podem revelar limites fundamentais escondidos dentro de expressões mais complicadas.
- O limite fundamental tan(u)/u → 1 quando u → 0 é uma ferramenta recorrente em Cálculo.
Se você está estudando limites, vale também consultar a página de Cálculo Diferencial e Integral I, onde reúno outros materiais da disciplina.