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Geometria Analítica · Vetores, retas reversas e produto misto
Problema. Dadas duas retas reversas no espaço tridimensional, como podemos demonstrar uma fórmula para a distância mínima entre elas? A solução será construída a partir de uma interpretação geométrica do produto misto, mesmo para quem ainda não conhece essa operação.
Uma ideia orientará toda a demonstração: quando construímos um paralelepípedo a partir dos vetores envolvidos, a distância procurada aparece como a altura desse sólido. Como volume = área da base × altura, basta calcular o volume e a área da base por meio de operações vetoriais.
1. O que são retas reversas?
Duas retas são reversas quando não são paralelas e não se interceptam. Em particular, não estão contidas em um mesmo plano. Escolhamos um ponto P₁ na reta r e um ponto P₂ na reta s, e chamemos de u⃗ e v⃗ seus respectivos vetores diretores.
O vetor que liga esses pontos é dado por:
O comprimento de P₁P₂, porém, não é necessariamente a menor distância entre as retas: podemos escolher outros pontos, possivelmente mais próximos. A distância mínima é medida por um segmento simultaneamente perpendicular às duas retas.
Figura 1 — Entre duas retas reversas, a distância mínima é medida pelo segmento perpendicular às duas retas.
2. O produto vetorial fornece a direção perpendicular
Para dois vetores diretores não paralelos u⃗ e v⃗, o produto vetorial n⃗ = u⃗ × v⃗ é perpendicular a ambos. Assim, n⃗ tem exatamente a direção que procuramos para o segmento de menor comprimento.
Além disso, o módulo do produto vetorial é a área do paralelogramo determinado pelos vetores u⃗ e v⃗:
Essa segunda propriedade será útil quando transformarmos o problema em um cálculo de volume e altura.
3. Produto misto: o que significa geometricamente?
O produto misto de três vetores a⃗, b⃗ e c⃗ é o número real obtido calculando-se primeiro o produto vetorial dos dois primeiros vetores e, depois, o produto escalar do resultado com o terceiro:
Imagine agora um paralelepípedo cujas arestas partem da mesma origem e têm as direções desses três vetores. A base é o paralelogramo determinado por a⃗ e b⃗, cuja área é ‖a⃗ × b⃗‖. O vetor a⃗ × b⃗ aponta perpendicularmente à base.
Figura 2 — O valor absoluto do produto misto fornece o volume do paralelepípedo construído com três vetores.
Definindo um vetor unitário normal à base, obtemos:
A altura h do paralelepípedo é o valor absoluto da componente de c⃗ na direção normal à base, isto é, o módulo de sua projeção escalar:
Como o volume é a área da base multiplicada pela altura, resulta:
Conclusão: o valor absoluto do produto misto mede o volume do paralelepípedo determinado pelos três vetores. Sem o valor absoluto, o sinal do produto misto registra a orientação dos vetores.
Calculando o produto misto por determinante
Se a⃗ = (a₁,a₂,a₃), b⃗ = (b₁,b₂,b₃) e c⃗ = (c₁,c₂,c₃), o produto misto coincide com o determinante da matriz cujas linhas são as componentes dos vetores:
Se os três vetores são coplanares, a altura do sólido é nula e o produto misto é zero. Essa propriedade será retomada ao final.
4. Construindo a fórmula para a distância entre as retas
Voltamos aos vetores u⃗, v⃗ e w⃗ = P₂ − P₁. Eles determinam um paralelepípedo cuja base é gerada por u⃗ e v⃗ e cuja terceira aresta é w⃗. Sua área da base e seu volume são, respectivamente:
Figura 3 — A distância entre as retas é a altura do paralelepípedo: h = V/A.
Se h é a altura perpendicular à base, temos V = A·h. Portanto:
Para que essa altura seja de fato a distância entre as retas, precisamos provar que nenhum outro segmento ligando r a s é menor.
5. Por que essa altura é a menor distância?
Um ponto qualquer de r pode ser representado por R(t) = P₁ + t u⃗. Um ponto qualquer de s pode ser representado por S(λ) = P₂ + λ v⃗. O vetor que liga esses dois pontos é:
Tomemos n⃗ = u⃗ × v⃗. Como n⃗ é perpendicular a u⃗ e v⃗, o produto escalar de D⃗ com n⃗ elimina os termos paralelos às duas retas:
Logo, todos os segmentos que ligam as duas retas apresentam a mesma componente na direção perpendicular a ambas. Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Portanto, o comprimento de qualquer segmento satisfaz:
Como u⃗ e v⃗ não são paralelos, podemos decompor w⃗ em uma componente no plano gerado por u⃗ e v⃗ e uma componente perpendicular a esse plano. Escolhendo adequadamente t e λ, cancelamos a componente no plano. Nesse caso, D⃗ fica paralelo a n⃗ e ocorre igualdade na estimativa anterior.
Figura 4 — A componente perpendicular de w determina a distância mínima; a componente paralela pode ser eliminada pela escolha de pontos nas retas.
Esse segmento é perpendicular às duas retas, tem comprimento mínimo e corresponde exatamente à altura h do paralelepípedo. Assim, está demonstrado:
6. Exemplo resolvido
Considere as duas retas dadas por r: (x,y,z) = (t,t,0) e s: (x,y,z) = (λ,0,3+λ), em que t e λ são números reais. Determine a distância entre elas.
Passo 1 — Identificar pontos e vetores diretores
Podemos escolher P₁ = (0,0,0), P₂ = (0,0,3), u⃗ = (1,1,0), v⃗ = (1,0,1) e w⃗ = P₂ − P₁ = (0,0,3).
Passo 2 — Calcular o produto vetorial
Logo, o módulo do produto vetorial é √(1² + (−1)² + (−1)²) = √3.
Passo 3 — Calcular o produto misto
Passo 4 — Aplicar a fórmula
Geometricamente, o volume do paralelepípedo é 3 e sua área da base é √3. A altura, portanto, é 3/√3 = √3, justamente a distância mínima entre as duas retas.
7. O que devemos compreender?
O numerador da fórmula é um volume calculado pelo produto misto. O denominador é a área da base calculada pelo módulo do produto vetorial. A divisão de um pelo outro fornece a altura do paralelepípedo, que coincide com a menor distância entre as retas reversas.
Se o produto misto for zero, os vetores u⃗, v⃗ e w⃗ serão coplanares. Quando u⃗ e v⃗ não são paralelos, isso significa que as retas são coplanares e se interceptam — portanto, não são reversas.
Observação final. A fórmula exige u⃗ × v⃗ ≠ 0, isto é, vetores diretores não paralelos. Retas paralelas constituem outro caso e devem ser tratadas separadamente.