Determine a e b para que o limite no infinito seja 3

Enunciado. Determine os valores de a e b tais que

lim_{x \to \infty} \frac{a x^{3} + b x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} - 3 x + 1} = 3

A questão parece pedir apenas uma comparação de coeficientes, mas há um detalhe essencial: o grau do numerador depende do valor de a. Se o termo cúbico permanecer, o numerador terá grau 3 enquanto o denominador terá grau 2, e o quociente não poderá tender a um número finito.

1. Dividindo tudo por x²

Como o maior grau do denominador é 2, uma forma muito clara de analisar o comportamento no infinito é dividir numerador e denominador por x²:

lim_{x \to \infty} \frac{a x + b + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}} = 3

Quando x tende ao infinito, temos

\frac{2}{x} \to 0, \frac{4}{x^{2}} \to 0, \frac{3}{x} \to 0, \frac{1}{x^{2}} \to 0

O denominador, portanto, tende a 1. O problema está no termo ax do numerador.

2. Por que a precisa ser zero?

Se a for diferente de zero, o termo ax cresce em módulo sem limite quando x → ∞. Assim, o quociente se comporta aproximadamente como ax e não pode tender ao número finito 3.

Logo, a única maneira de eliminar esse crescimento é impor

a = 0

Esse é o passo decisivo da questão. Ele reduz o grau do numerador de 3 para 2, deixando numerador e denominador com o mesmo grau.

3. Determinando b

Com a = 0, o limite passa a ser

lim_{x \to \infty} \frac{b x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} - 3 x + 1} = 3

Agora numerador e denominador são polinômios de mesmo grau. Nesse caso, o limite no infinito é a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau. Portanto,

\frac{b}{1} = 3

e, consequentemente,

b = 3

4. Verificação

Substituindo a = 0 e b = 3 na expressão original, obtemos

lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} - 3 x + 1}

Dividindo novamente por x², todos os termos com 1/x e 1/x² desaparecem no limite, restando

\frac{3}{1} = 3

Portanto, os valores encontrados satisfazem exatamente a condição do enunciado.

Resposta final

a = 0, b = 3

Ideia principal: antes de comparar os coeficientes líderes, precisamos garantir que numerador e denominador tenham graus compatíveis. O termo ax³ faria o quociente crescer sem limite; por isso, necessariamente a = 0. Depois disso, a razão entre os coeficientes de x² determina b = 3.

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