Exercício resolvido: derivada de 1/(∛x + √x) pela regra da cadeia

Resolução da primeira Questão 3 (5 pontos) da Prova 02 de Cálculo Diferencial e Integral, com aplicação direta da regra da cadeia.

Enunciado

Questão 3 (5 pontos) — Regra da Cadeia. Encontre dy/dx para:

y = \frac{1}{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}}

Resolução

Escrevemos as raízes como potências e o denominador com expoente negativo:

y = {(x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}

Definindo a expressão interna como u(x) = x^1/3 + x^1/2, sua derivada é:

u^{'} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}

Pela regra da cadeia, derivamos a potência −1 e multiplicamos pela derivada da expressão interna:

\frac{d y}{d x} = - {(\sqrt[3]{x} + \sqrt{x})}^{- 2} \cdot (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})

Voltando à notação com radicais, obtemos o resultado:

Resposta final

\frac{d y}{d x} = - \frac{(\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}{{(\sqrt[3]{x} + \sqrt{x})}^{2}}

A função e sua derivada estão definidas, nos números reais, para x > 0.

Fonte do enunciado: Cálculo Diferencial e Integral — Prova 02, primeira Questão 3 (5 pontos), Prof. Guilherme Augusto Pianezzer, UTFPR — Campus Curitiba.

Autoria e revisão

Guilherme Augusto Pianezzer

Professor de Matemática, autor e criador de conteúdo. Os textos deste site são produzidos com foco em rigor conceitual, clareza didática e conexão entre Matemática, Economia, Ciência e Educação.

Sobre o autor Política editorial

Exercício resolvido: derivada de 1/(∛x + √x) pela regra da cadeia

Enunciado

Resolução

Resposta final

Guilherme Augusto Pianezzer

Deixe um comentário Cancelar resposta