Exercício resolvido: derivada de x²/(x³ − 1) pela regra da cadeia

Questão 2 da Prova 02 de Cálculo Diferencial e Integral (UTFPR). Aplicaremos as regras do produto e da cadeia para calcular a derivada de uma função racional.

Enunciado

Questão 2 (5 pontos) — Regra da Cadeia. Encontre dy/dx para a função:

y = \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}

Resolução

Primeiro, escrevemos a divisão como uma potência de expoente negativo:

y = x^{2} \cdot {(x^{3} - 1)}^{- 1}

Aplicamos a regra do produto. Para derivar o segundo fator, usamos a regra da cadeia: derivamos a potência de fora e multiplicamos pela derivada de x³ − 1, que é 3x².

\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot {(x^{3} - 1)}^{- 1} + x^{2} \cdot (- 1) {(x^{3} - 1)}^{- 2} \cdot 3 x^{2}

Reescrevendo com denominadores positivos:

\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{3} - 1} - \frac{3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}

Colocamos as parcelas no mesmo denominador e simplificamos o numerador:

\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (x^{3} - 1) - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}

\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{4} - 2 x}{{(x^{3} - 1)}^{2}}

Resposta final

\frac{d y}{d x} = \frac{- x (x^{3} + 2)}{{(x^{3} - 1)}^{2}}

A função original não está definida quando x³ − 1 = 0, isto é, em x = 1. Portanto, a derivada vale para x ≠ 1.

Fonte: Cálculo Diferencial e Integral — Prova 02, Questão 2. Prof. Guilherme Augusto Pianezzer, Universidade Tecnológica Federal do Paraná — Campus Curitiba.

Autoria e revisão

Guilherme Augusto Pianezzer

Professor de Matemática, autor e criador de conteúdo. Os textos deste site são produzidos com foco em rigor conceitual, clareza didática e conexão entre Matemática, Economia, Ciência e Educação.

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Guilherme Augusto Pianezzer

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