Exercício resolvido: regra da cadeia em arctg(ln x) + ln(arctg x)

Uma função dentro de outra — e, dentro dela, mais uma transformação. Como derivar tudo isso sem se perder? Nesta resolução da Questão 1 de Cálculo Diferencial e Integral, vamos aprender a identificar as camadas da expressão, aplicar a regra da cadeia e interpretar os resultados graficamente.

Enunciado — Questão 1 (10 pontos)

(Regra da Cadeia) Sabendo que a derivada da função arco-tangente é:

\frac{d}{d x} [arctg (x)] = \frac{1}{1 + x^{2}}

Encontre dy/dx para:

y = arctg (\ln (x)) + \ln (arctg (x))

A notação arctg(x) significa arco-tangente (também escrita arctan), e ln(x) significa logaritmo natural. O objetivo é descobrir a derivada dessa soma em relação à variável x.

O que é uma derivada?

Imagine que a entrada x muda um pouquinho. A derivada indica quão rapidamente a saída y está mudando naquele instante. Geometricamente, ela corresponde à inclinação da reta tangente ao gráfico. Se a derivada é positiva, a função está crescendo; se é negativa, está decrescendo.

Há regras simples, como a derivada de x² ser igual a 2x. A dificuldade aumenta quando a expressão de entrada é transformada várias vezes: primeiro calculamos um logaritmo e depois aplicamos arco-tangente, por exemplo. É nesse cenário que usamos a regra da cadeia.

O que é a regra da cadeia?

Se uma função está dentro de outra, primeiro derivamos a função de fora, mantendo a expressão interna; depois multiplicamos pela derivada da parte de dentro. Simbolicamente, para uma composição f(u(x)):

\frac{d}{d x} f (u (x)) = f^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)

Um exemplo mais familiar é y = (x² + 1)³. A função externa eleva ao cubo; a interna é x² + 1. Derivamos o cubo e multiplicamos por 2x, a derivada do interior:

\frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3} = 3 {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 2 x

Observe: derivar apenas a função externa não basta. É necessário levar em conta a mudança produzida pela expressão interna.

Passo 1 — Separe as parcelas da soma

Nossa função contém duas parcelas: arctg(ln x) e ln(arctg x). A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Podemos, portanto, trabalhar com cada parcela separadamente.

\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} arctg (\ln (x)) + \frac{d}{d x} \ln (arctg (x))

Passo 2 — Derive arctg(ln x)

Na primeira parcela, a operação realizada por último é a arco-tangente: essa é a função externa. O logaritmo ln(x), calculado antes, é a função interna.

Se chamarmos a parte interna de u(x) = ln(x), sua derivada será u′(x) = 1/x. A regra fornecida no enunciado, substituindo seu argumento por u(x), fica:

\frac{d}{d x} arctg (u (x)) = \frac{1}{1 + {(u (x))}^{2}} \cdot u^{'} (x)

Agora substituímos u(x) por ln(x), e u′(x) por 1/x:

\frac{d}{d x} arctg (\ln (x)) = \frac{1}{1 + {(\ln (x))}^{2}} \cdot \frac{1}{x}

Multiplicando as frações, obtemos a derivada da primeira parcela:

\frac{d}{d x} arctg (\ln (x)) = \frac{1}{x [1 + {(\ln (x))}^{2}]}

Passo 3 — Derive ln(arctg x)

Nesta parcela, a função externa é ln(·), porque o logaritmo é aplicado ao resultado da arco-tangente. A interna é v(x) = arctg(x).

A derivada do logaritmo natural de uma expressão v(x) é a derivada da parte interna dividida pela própria parte interna:

\frac{d}{d x} \ln (v (x)) = \frac{v^{'} (x)}{v (x)}

O enunciado fornece a derivada de arctg(x), que é 1/(1 + x²). Assim, fazemos:

\frac{d}{d x} \ln (arctg (x)) = \frac{1}{arctg (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

Reunindo os denominadores, encontramos a derivada da segunda parcela:

\frac{d}{d x} \ln (arctg (x)) = \frac{1}{(1 + x^{2}) arctg (x)}

Passo 4 — Some os dois resultados

Como a função original é uma soma, juntamos as derivadas calculadas. Eis a resposta final para a questão:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x [1 + {(\ln (x))}^{2}]} + \frac{1}{(1 + x^{2}) arctg (x)}

Não é necessário colocar as duas parcelas sobre um único denominador. Essa forma facilita a conferência e deixa visíveis as duas aplicações da regra da cadeia.

Qual é o domínio da função?

Antes de interpretar os gráficos, há uma restrição importante. O logaritmo natural ln(x) exige x > 0. O outro logaritmo, ln(arctg x), exige arctg(x) > 0, o que também acontece exatamente quando x > 0. Portanto, o domínio real é:

D = (0, + \infty)

Isso significa que x = 0 não pertence ao gráfico. A derivada obtida também só faz sentido nesse intervalo, no qual seus denominadores não se anulam.

Gráfico 1 — A função está crescendo?

Vamos desenhar a função original. Perto de zero, pelo lado positivo, seus valores ficam muito negativos. À medida que x cresce, a curva sobe e se aproxima de uma altura fixa. Repare no ponto marcado para x = 1.

Figura 1 — Gráfico de y = arctg(ln x) + ln(arctg x). O valor x = 0 não pertence ao domínio, e a reta tracejada é o limite horizontal.

O gráfico mostra ainda uma informação que não era pedida, mas ajuda a entender a função: quando x cresce indefinidamente, arctg(ln x) se aproxima de π/2, enquanto ln(arctg x) se aproxima de ln(π/2). A soma se aproxima de 2,0224. É a assíntota horizontal indicada pela linha tracejada:

\lim_{x \to \infty} y = \frac{π}{2} + \ln (\frac{π}{2}) \approx 2,0224

Gráfico 2 — O que a derivada revela?

Podemos interpretar a resposta sem fazer novas contas. Se x > 0, então x, 1 + (ln x)², 1 + x² e arctg(x) são todos positivos. Os dois termos da derivada são frações positivas; portanto, y′(x) > 0 para todo x do domínio. Isso prova que a função original é estritamente crescente.

Figura 2 — Gráfico de y′(x). A curva permanece acima do eixo horizontal, indicando crescimento da função original.

A curva da derivada está sempre acima do eixo horizontal, mas vai se aproximando de zero. Isso quer dizer que a função original continua crescendo, porém cada vez mais devagar. Uma derivada muito pequena não significa necessariamente que a função parou de crescer.

Conferindo a resposta em alguns pontos

Podemos conferir os resultados substituindo valores positivos de x tanto na função quanto na expressão da derivada. A tabela mostra, por exemplo, que y aumenta quando passamos de x = 1 para x = 2, enquanto a inclinação positiva diminui:

x	y(x), aprox.	y′(x), aprox.
0,5	−1,3747	3,0764
1	−0,2416	1,6366
2	0,7079	0,5184
5	1,3321	0,0837
10	1,5471	0,0226

Valores arredondados a quatro casas decimais.

Erros comuns nessa questão

1. Esquecer a parte interna. Ao derivar arctg(ln x), é obrigatório multiplicar pela derivada de ln(x), ou seja, por 1/x.

2. Derivar apenas o logaritmo de fora. Na expressão ln(arctg x), escrever somente 1/arctg x deixa de fora o fator 1/(1 + x²).

3. Ignorar o domínio. A função não está definida, nos números reais, para x igual a zero ou negativo.

Resposta final e ideia principal

A derivada pedida no enunciado é:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x [1 + {(\ln (x))}^{2}]} + \frac{1}{(1 + x^{2}) arctg (x)}

Para aprender a regra da cadeia, procure sempre as camadas: qual é a última operação realizada? Qual expressão foi colocada dentro dela? Derive a operação de fora e multiplique pela derivada de dentro. Quando há uma soma, repita o processo para cada parcela.

Desafio para quem está estudando: se o primeiro termo fosse apenas arctg(x), sem o logaritmo em seu interior, qual dos fatores desapareceria? Tente responder usando os passos anteriores.

Fonte do enunciado: Cálculo Diferencial e Integral — Prova 02, Questão 1, Prof. Guilherme Augusto Pianezzer, Universidade Tecnológica Federal do Paraná (Campus Curitiba). Resolução e gráficos elaborados para este artigo.

Autoria e revisão

Guilherme Augusto Pianezzer

Professor de Matemática, autor e criador de conteúdo. Os textos deste site são produzidos com foco em rigor conceitual, clareza didática e conexão entre Matemática, Economia, Ciência e Educação.

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