Esboço do gráfico e continuidade de uma função definida por partes

Enunciado. Faça o esboço do gráfico da função

f (x) = {\begin{cases} | x | & , se x < 4 \\ 6 & , se x = 4 \\ - 4 x + 20 & , se x > 4 \end{cases}

e discuta sua continuidade. Como a função é definida por partes, devemos estudar cada trecho separadamente e dar atenção especial ao ponto em que a regra muda: x = 4.

1. Trecho para x < 4

Para valores menores que 4, temos f(x)=|x|. O gráfico do módulo é o conhecido formato em “V”, com vértice em (0,0). Como a condição exige x < 4, esse trecho se aproxima de (4,4), mas não inclui o ponto x = 4.

lim_{x \to 4^{-}} f (x) = lim_{x \to 4^{-}} | x | = 4

2. Valor da função em x = 4

No ponto x = 4, a definição fornece diretamente

f (4) = 6

Assim, o gráfico possui um ponto preenchido em (4,6). É importante não confundir esse valor com o ponto (4,4), para o qual os dois ramos se aproximam.

3. Trecho para x > 4

Para x maior que 4, a função é a reta

f (x) = - 4 x + 20

Se estendêssemos essa reta até x = 4, obteríamos

- 4 (4) + 20 = 4

Portanto, pela direita, o gráfico também se aproxima de (4,4). Como a regra vale apenas para x > 4, representamos (4,4) com círculo aberto.

lim_{x \to 4^{+}} f (x) = 4

4. Esboço do gráfico

Leitura do gráfico: os dois ramos se aproximam de (4,4), mas esse ponto não pertence ao gráfico; o valor efetivo da função em x = 4 é o ponto preenchido (4,6).

Observe ainda que a reta y = −4x + 20 cruza o eixo x em x = 5, pois −4(5)+20=0. Isso ajuda a conferir visualmente a inclinação do ramo à direita.

5. Discussão da continuidade em x = 4

Para uma função ser contínua em x = 4, precisamos que três condições sejam satisfeitas: f(4) esteja definida, o limite em x = 4 exista e esse limite seja igual a f(4).

Já sabemos que os limites laterais são

lim_{x \to 4^{-}} f (x) = 4, lim_{x \to 4^{+}} f (x) = 4

Como os limites laterais coincidem, o limite existe e vale

lim_{x \to 4} f (x) = 4

Entretanto,

f (4) = 6

Portanto,

lim_{x \to 4} f (x) \neq f (4)

Logo, a função não é contínua em x = 4.

6. Que tipo de descontinuidade ocorre?

A descontinuidade é removível. O limite existe e vale 4, mas o valor atribuído à função no ponto é 6. Bastaria redefinir o valor no ponto como f(4)=4 para tornar a função contínua em x=4.

Resposta final

O gráfico é formado pelo ramo de y=|x| para x<4, pela reta y=−4x+20 para x>4, por um círculo aberto em (4,4) e por um ponto preenchido em (4,6). A função é contínua em todos os pontos de seu domínio, exceto em x=4. Nesse ponto, ocorre uma descontinuidade removível, pois

lim_{x \to 4} f (x) = 4 \neq 6 = f (4)

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