Exercício resolvido: limite do custo médio de um automóvel quando x → ∞

Enunciado. Um estudo de despesas com automóveis, baseado em carros populares de quatro cilindros, modelo 1992, revelou que o custo médio anual por milha — considerando prestações, combustível, seguro, manutenção e depreciação — pode ser aproximado pela função

\bar{C} (x) = \frac{2010}{x^{2.2}} + 17.80

em que x representa o número de milhas rodadas em um ano, medido em milhares de milhas. A pergunta é: o que acontece com o custo médio quando a quantidade de milhas rodadas cresce indefinidamente?

1. O que a questão está pedindo?

A expressão “quando o número de milhas rodadas cresce indefinidamente” indica que devemos estudar o comportamento da função quando x tende ao infinito. Em linguagem de limites, queremos calcular

lim_{x \to \infty} \bar{C} (x)

Substituindo a função dada, temos

lim_{x \to \infty} (\frac{2010}{x^{2.2}} + 17.80)

2. Analisando o termo que depende de x

O ponto central está no termo

\frac{2010}{x^{2.2}}

Quando x cresce, a potência x^2,2 cresce ainda mais rapidamente. O numerador, 2010, permanece constante, enquanto o denominador aumenta sem limite. Por isso, a fração fica cada vez menor.

lim_{x \to \infty} \frac{2010}{x^{2.2}} = 0

Esse resultado também pode ser escrito destacando a potência negativa:

\frac{2010}{x^{2.2}} = 2010 x^{- 2.2} \to 0

3. Calculando o limite completo

Agora podemos separar os dois termos da função:

lim_{x \to \infty} \bar{C} (x) = lim_{x \to \infty} \frac{2010}{x^{2.2}} + 17.80

Como a fração tende a zero, sobra apenas a constante:

lim_{x \to \infty} \bar{C} (x) = 0 + 17.80 = 17.80

4. O que isso significa no contexto do problema?

O custo médio não cai indefinidamente até zero. À medida que o automóvel percorre mais e mais milhas ao longo do ano, o termo variável 2010/x^2,2 perde importância, mas permanece o valor constante de 17,80 centavos por milha.

Em outras palavras, segundo o modelo, quanto maior a quilometragem anual, mais o custo médio por milha se aproxima de 17,80 centavos. Esse valor funciona como um patamar limite do modelo.

5. Alguns valores para visualizar a aproximação

x	Milhas por ano	Custo médio aproximado
5	5.000	76,07 centavos/milha
10	10.000	30,48 centavos/milha
20	20.000	20,56 centavos/milha
50	50.000	18,17 centavos/milha
100	100.000	17,88 centavos/milha

Observe que os valores vão se aproximando de 17,80, mas permanecem acima desse número para qualquer valor finito positivo de x. Isso ocorre porque a parcela 2010/x^2,2 é sempre positiva.

6. Interpretação gráfica: assíntota horizontal

Geometricamente, a reta horizontal y = 17,80 é uma assíntota horizontal da função. O gráfico de C̄(x) se aproxima dessa reta quando x aumenta, sem precisar atingi-la para nenhum valor finito de x.

y = 17.80

Resposta final

Quando o número de milhas rodadas cresce indefinidamente, o custo médio se aproxima de 17,80 centavos por milha. Matematicamente:

lim_{x \to \infty} \bar{C} (x) = 17.80

A ideia essencial é simples: quando o denominador cresce indefinidamente, a fração tende a zero. O termo constante da função é, portanto, o valor que determina o comportamento de longo prazo.