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Continuidade de f(x) = x sen(1/x) em x = 0

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Cálculo · Continuidade e derivabilidade

Problema. Discuta a continuidade, no ponto x₀ = 0, da função

f(x)=x·sen(1x)se x≠00se x=0

O enunciado também destaca o quociente

f(x) − f(0)x − 0

Esse quociente é o quociente incremental, usado para estudar a derivada em 0. Portanto, há duas perguntas diferentes escondidas aqui: a função é contínua em 0? E, além disso, ela é derivável nesse ponto?

1. O que precisamos verificar para ter continuidade?

Uma função é contínua em x = 0 quando três condições se combinam: f(0) existe, o limite de f(x) quando x → 0 existe e esse limite é igual a f(0).

Pela própria definição da função,

f(0) = 0

Falta então calcular o limite:

limx → 0x · sen(1/x)

2. O seno oscila, mas está sempre limitado

Quando x se aproxima de 0, o número 1/x cresce em módulo e a expressão sen(1/x) oscila infinitamente muitas vezes entre −1 e 1. Por isso, sen(1/x) sozinho não possui limite quando x → 0.

Mas aqui ele aparece multiplicado por x. Como, para qualquer número real,

|sen(1/x)| ≤ 1

temos

|x · sen(1/x)| ≤ |x|

Agora vem o ponto decisivo: quando x → 0, também temos |x| → 0. Logo, pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche),

limx → 0x · sen(1/x) = 0
Gráfico de f de x igual a x vezes seno de um sobre x próximo de zeroA função oscila infinitamente muitas vezes perto de zero, mas permanece presa entre as curvas y igual a módulo de x e y igual a menos módulo de x, aproximando-se da origem.f(x) = x · sen(1/x) perto de x = 0As oscilações ficam cada vez mais rápidas, mas sua amplitude vai a zero. -0.10-0.0500.050.10 -0.10-0.050.050.10 envoltórias: y = ±|x|Mesmo oscilando infinitamente perto de 0, o gráfico é “espremido” para o ponto (0,0).
O gráfico oscila cada vez mais rápido quando x se aproxima de 0, mas a altura das oscilações é limitada por |x|. É exatamente essa redução da amplitude que garante a continuidade.

O gráfico mostra exatamente o argumento analítico. A função oscila cada vez mais perto de 0, mas essas oscilações ficam confinadas entre as envoltórias y = |x| e y = −|x|. Como ambas convergem para 0, a própria função também é forçada a convergir para 0.

3. Conclusão sobre a continuidade

Já sabemos que

limx → 0f(x) = 0 = f(0)

Portanto, a função é contínua em x = 0.

Resposta da pergunta de continuidadeApesar das infinitas oscilações de sen(1/x), o fator x faz a amplitude dessas oscilações tender a zero. Assim, limx→0 f(x) = f(0) = 0.

4. E o quociente mostrado no enunciado?

O quociente exibido na questão não é necessário para provar continuidade. Ele serve para testar a derivabilidade em x = 0:

f(x) − f(0)x − 0=x · sen(1/x)x= sen(1/x)

Assim, para que f′(0) existisse, seria necessário existir o limite

limx → 0sen(1/x)

Esse limite não existe, porque podemos nos aproximar de 0 por sequências diferentes e obter valores distintos.

5. Duas sequências que provam que a derivada não existe

Considere

xₙ =1π/2 + 2πn→ 0

Nesse caso,

sen(1/xₙ) = sen(π/2 + 2πn) = 1

Agora considere

yₙ =13π/2 + 2πn→ 0

Então,

sen(1/yₙ) = sen(3π/2 + 2πn) = −1

As duas sequências tendem a 0, mas o quociente incremental tende a 1 por uma delas e a −1 pela outra. Logo, não há um único limite.

Resposta final

Continuidade: sim. A função é contínua em x = 0 porque limx→0 x·sen(1/x) = 0 = f(0).

Derivabilidade: não. O quociente incremental se reduz a sen(1/x), cujo limite não existe quando x → 0.

Este é um exemplo importante porque mostra que continuidade não implica derivabilidade. O gráfico chega perfeitamente ao ponto (0,0), mas as inclinações das secantes continuam oscilando e não se estabilizam em um único valor.

Para revisar limites, continuidade e derivadas, consulte também a página de Cálculo Diferencial e Integral I.

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